题目

已知直线l的方程是mx+4y+2m-8=0,圆C的方程是x²+y²-4x+6y-29=0.
（1）证明l过定点 （2）证明l和圆相交 （3）求直线l被圆截得的弦长最短时的l的方程

提问时间：2020-11-23

答案

（1）证明：
直线mx+4y+2m-8=0
4y=-mx-2m+8
4y=-m(x+2)+8
y=-m/4(x+2)+2
由此,直线过定点（-2,2）
（2）圆：x²+y²-4x+6y-29=0
(x-2)²+(y+3)²=42
圆心（2,-3）半径=√42
定点（-2,2）到圆心距离=√(-2-2)²+(2+3)²=√41<√42
点（-2,2）在圆内,所以直线l肯定和圆相交
（3）因为半径一定,所以到直线距离越大,弦长越短
圆心与点（-2,2）的连线垂直于弦的时候,圆心到直线的距离最大
所以弦长最短
圆心与点（-2,2）连线的斜率=(-3-3)/(2+2)=-3/2
那么直线l的斜率=2/3
直线l：y-2=2/3(x+2)
2x-3y+10=10