题目

①lim(x→∞)sin(1/x)/(1/x)等于多少?②lim(x→0)sin(1/x)/(1/x)等于多少?
③lim(x→∞)(sinx)/x等于多少?④lim(x→0)(sinx)/x=1这个是重要极限.关键是上面三个一直不是很理解 最后给出具体为什么?

提问时间：2020-11-23

答案

答案分别是是1,0,0,1
①
lim(x-->∞) sin(1/x)/(1/x),当x-->∞时,1/x-->0,是「0/0」的形式,所以
= lim(y-->0) siny/y,若果设y = 1/x,x-->∞ y-->0
= 1
②
lim(x-->0) sin(1/x)/(1/x),当x-->0时,1/x-->∞,是「有界函数/∞」的形式,相当於「常数/∞」
sin(1/x)是有界函数,当x-->0,这个函数会在[-1,1]之间不断波动,没有定值,当是常数项处理
但对於分母,当1/x-->∞,常数/(1/x) = 常数/∞ = 0,带动整个分式趋向0
如果设y = 1/x,x-->0 y-->∞
= lim(y-->∞) siny/y,跟第③题相同
所以该极限 = 0
③
lim(x-->∞) sinx/x,当x-->∞时,sinx的取值也是不定的,在[-1,1]之间震动,主要看分母
当x-->∞时,常数/x = 0,道理跟上面那题一样的
所以该极限 = 0
④
lim(x-->0) (sinx)x = 1,这个不需要解释吧,用夹逼定理夹出来的.