题目

已知函数f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

提问时间：2020-11-23

答案

（Ⅰ） f(x)=2•

1+cos2ωx

2

+sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx+2
=

2

(sin2ωxcos

π

4

+cos2ωxsin

π

4

)+2
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2
由题设，函数f（x）的最小正周期是

π

2

，可得

2π

2ω

=

π

2

，所以ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2．
当4x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

π

16

+

kπ

2

(k∈Z)时，sin(4x+

π

4

)取得最大值1，
所以函数f（x）的最大值是2+

2

，此时x的集合为{x|x=

π

16

+

kπ

2

，k∈Z}．

（1）先用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据函数的最小正周期求得ω．
（2）根据正弦函数的性质可知4x+

π

4

＝

π

2

+2kπ时，函数取最大值2+

2

，进而求得x的集合．

本题考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．

考点点评：本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质等基础知识，考查基本运算能力．