题目

证明不等式 3^n≥n^3 (n≥3）
RT
最好不要用导数
n是正整数

提问时间：2020-11-23

答案

归纳法证明：
当n=1时,3^n=3,n^3=1,3≥1,所以3^n≥n^3,成立；
当n=2时,3^n=9,n^3=8,9≥9,所以3^n≥n^3,成立；
当n=3时,3^n=27,n^3=27,27≥27,所以3^n≥n^3,成立；
假设当n=k(k≥3)时,原不等式成立,即有3^k≥k^3,
那么当n=k+1时,3^(k+1)=3×3^k≥3k^3=(3次根号下3*k)^3
而3次根号下3*k-(k+1)=(3次根号下3-1)*k-1,当k≥3时,(3次根号下3-1)*k-1≥0
所以(3次根号下3*k)^3≥(k+1)^3,所以3^(k+1)≥(3次根号下3*k)^3≥(k+1)^3
即当n=k+1时,原不等式也成立
所以原不等式对于任意n∈N+恒成立,即原不等式得证