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题目
若函数f(x)=
ax+1
x2+c
的值域为[-1,5],求实数a、c.

提问时间:2020-11-23

答案
由y=f(x)=
ax+1
x2+c
,得x2y-ax+cy-1=0.
当y=0时,ax=-1,∴a≠0.
当y≠0时,∵x∈R,∴△=a2-4y(cy-1)≥0.
∴4cy2-4y-a2≤0.∵-1≤y≤5,
∴-1、5是方程4cy2-4y-a2=0的两根.
1
c
=4
a2
4c
=−5.
a=±
5
c=
1
4
.

故a=±
5
,c=
1
4
令y=
ax+1
x2+c
,将其变为x2y-ax+cy-1=0,此方程一定有根,当y=0时,满足方程有根,当当y≠0时,必有△≥0,由此得到关于y的不等式,再根据不等式的解集与对应方程的根的关系,知-1、5是方程4cy2-4y-a2=0的两根,故可得关于参数a,c的方程,解方程求值即可.

函数的值域.

本题是判别式法求值域的变形运用,其特点是变形得到关于函数值的不等式,再由不等式的解集端点与相应方程式根的关系建立参数方程求参数,判断别式法求值域是应用较少的一个技巧,运用时易忘掉二次项为0时的讨论,用此法作题时应注意.求f(x)=

a2x2+b2x+c2
a1x2+b1x+c1
(a12+a22≠0)的值域时,常利用函数的定义域非空这一隐含的条件,将函数转化为方程,利用△≥0转化为关于函数值的不等式.求解时,要注意二次项系数为字母时要讨论.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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