题目

求一个三阶矩阵的特征值和特征向量:求(1 2 3 2 1 3 3 3 6)的特征值和特征向量

提问时间：2020-11-23

答案

设此矩阵A的特征值为λ
则
|A-λE|=
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ 第2列减去第1列
=
1-λ λ+1 3
2 -1-λ 3
3 0 6-λ 第1行加上第2行
=
3-λ 0 6
2 -1-λ 3
3 0 6-λ 按第2列展开
=(-1-λ)(λ²-9λ)=0
解得λ=9,0或-1
当λ=9时,
A-9E=
-8 2 3
2 -8 3
3 3 -3 第1行加上第2行×4,第3行除以3,
～
0 -30 15
2 -8 3
1 1 -1 第1行除以-15,第2行减去第3行乘以2
～
0 2 -1
0 -10 5
1 1 -1 第2行加上第1行×5,第1行乘以1/2,第3行减去第1行,交换行
～
1 0 -1/2
0 1 -1/2
0 0 0
得到特征向量(1,1,2)^T
当λ=0时,
A=
1 2 3
2 1 3
3 3 6 第2行减去第1行乘以2,第3行减去第1行乘以3
～
1 2 3
0 -3 -3
0 -3 -3 第3行减去第2行,第2行除以-3,第1行减去第2行乘以2
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(1,1,-1)^T
当λ= -1时,
A+E=
2 2 3
2 2 3
3 3 7 第2行减去第1行,第3行减去第1行× 3/2
～
2 2 3
0 0 0
0 0 2.5 第3行除以2.5,第1行减去第3行×3,交换第2和第3行
～
2 2 0
0 0 1
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T
所以此矩阵的特征值为9,0,-1
对应的特征向量为：(1,1,2)^T,(1,1,-1)^T,(1,-1,0)^T