题目

+已知圆M经过直线l:2x+y+4=0及圆C:x^2+y^2+2x-4y1=0的交点,且圆M的圆心到直线g:2x+6y-5=0的距离为3√10,
这道题目的答案如下：已知圆M过
假设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+a(2x+y+4)=0
那么圆心为[-(b+1), -(b-4)/2]
圆M的圆心到直线2x+6y-5=0的距离是
所以
b=13或者-11
所以圆的方程为x^2+y^2+28x+9y+53=0
或者x^2+y^2-20x-15y-43=0
可是我看不懂这步“假设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+a(2x+y+4)=0
那么圆心为[-(b+1), -(b-4)/2]”,希望好心人指点,谢谢

提问时间：2020-11-23

答案

这里使用的是圆系的思想,也就是有共同特征的一系列的圆,很明显已知的直线和圆相交有两个交点,过这两个交点的圆有无数个,它们的方程可以统一写成x2+y2+2x-4y+1+a(2x+y+4)=0,只需要求出这些圆中到直线距离满足条件的即可,这样做的目的是较少未知量.
如果理解不了这个方法,可以用普通解法：
设所求圆方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 （*）,求出已知直线和已知圆的交点,带入方程（*）,再用圆心到直线的距离等于3√10,列出关于a、b、r的三个方程即可,只是运算量较大一些.