题目

f(x)=x^3 -9/2 x^2 + 6x- a,若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围

提问时间：2020-11-22

答案

由函数可得
f'(x)=3x^2-9x+6=3(x-1)(x-2)
∴当x≥2或x≤1时 f'(x)≥0 f(x)单调上升
当1＜x＜2时 f'(x)＜0 f(x)单调下降
又由f(1)=5/2-a1=0得a1=5/2
f(2)=2-a2=0得a2=2
（画图为N字形,因为不好画,LZ就自己画一下哈）
∴有下面分类：
（1）当a∈(2,5/2)时
f(-∞)＜0
f(1)＞0
f(2)＜0
f(+∞)＞0
有3个交点x1＜1＜x2＜2＜x3
（2）当a∈(5/2,+)或(-∞,2)时
有1个交点分别位于(2,+∞)或(-∞,5/2)上
（3）当a=5/2或2时,有2个交点
所以a∈(5/2,+∞) (-∞,2)