题目

证明任一个群G不能是两个不等于G的子群的集合
我的全部积分都用来悬赏了~

提问时间：2020-11-21

答案

该题你没能表达清楚,本题的意思应该是:
证明任一个群G不能是两个不等于G的子群的并集.
如果是这样我给你提供一个证明,用反证法,
设H1,H2均是G的子群,如果H1U H2=G,显然H1,H2互相不包含,否则有H1UH2=H1,或H1UH2=H2,H1=H1U H2=G,或H2=H1U H2=G,这与H1,H2均与G不等矛盾.
由H1,H2互相不包含,因此可取属于H1但不属于H2的元素x,属于H2但不属于H1的元素y,下面证明x*y(*是群中的运算)既不在H1中,也不在H2中,如果x*y在H1中,由x在H1中可知x的逆x^-1也在H1中,故x^-1*(x*y)=y也在H1中,这与上面的y不属于H1的假设矛盾,因此x*y不在H1中,同理也可证x*y不在H2中,而x*y是G的元素,这与H1U H2=G矛盾.