题目

已知圆的方程为x²+y²=1,直线l过点a(3,0),且与圆o相切
(1)求直线l的方程
(2)直线过点A,且与圆o相交于M、N两点,求弦MN的终点R的轨迹方程

提问时间：2020-11-21

答案

（1）、设直线l为：y=k(x-3),
x²+y²=1——》2x+2yy'=0
——》k=y’=-x/y,
解上述方程组得：k=+-v2/4,
即直线l为：y=+-v2/4(x-3)；
（2）、联立方程：y=k(x-3),x²+y²=1,
得：x^2+k^2(x-3)^2=1——》(k^2+1)x^2-6k^2x+9k^2-1=0
——》(x1+x2)/2=3k^2/(k^2+1),
或：(y/k+3)^2+y^2=1——》(k^2+1)y^2+6ky+9-k^2=0
——》(y1+y2)/2=-3k/(k^2+1),
设弦MN的中点R的坐标为(x,y),则：
x=3k^2/(k^2+1),y=-3k/(k^2+1),由上题知k∈[-v2/4,v2/4],
消去参数k,得：(x-3/2)^2+y^2=(3/2)^2,x∈[0,1/3].