题目

y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1，cosx-sinx=

3 2

5

，则f[

15sin2x

cos(x+ π 4 )

]=______．

提问时间：2020-11-21

答案

由题意cosx-sinx=

3 2

5

，可得1-2cosxsinx=

18

25

，可得sin2x=

7

25

又可得cos(x+

π

4

)＝

2

2

(cosx−sinx)=

3

5

∴

15sin2x

cos(x+ π 4 )

＝

15× 7 25

3 5

＝7
又y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1
∴f（7）=f（-1）=-f（1）=-1
故答案为-1

由题意，可由cosx-sinx=

3 2

5

先化简

15sin2x

cos(x+ π 4 )

，解出它的值为7，再由y=f（x）是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1，即可得到f（7）=f（-1）=-f（1），函数值可求得．

本题考点：二倍角的正弦；函数奇偶性的性质；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；正弦函数的对称性．

考点点评：本题考查二倍角的正弦，余弦的和角公式，函数的奇偶性与对称性，解题的关键是理解题意，综合利用题设条件求值，本题的难点有二，一是求

15sin2x

cos(x+ π 4 )

的值，二是由函数的性质将

15sin2x

cos(x+ π 4 )

的函数值用1的函数值表示出来，本题考查了推理判断的能力，根据公式计算的能力，考查了转化的思想，是函数与三角结合的综合题，解题时知识转换快，要严谨．