题目

过椭圆x^2 /5 +y^2 =1 的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长

提问时间：2020-11-21

答案

令椭圆的左、右焦点分别是F1、F2.
由椭圆方程x^2/5＋y^2＝1,得：
椭圆以原点为中心,两坐标轴为对称轴,且a＝√5、c＝√（5－1）＝2.
∵AB⊥x轴,∴A、B关于x轴对称,∴AF2＝AB/2.
由椭圆的定义,有：AF1＋AF2＝2a＝2√5,∴AF1＝2√5－（AB/2）,
∴AF1^2＝20－2√5AB＋AB^2/4.
由勾股定理,有：AF1^2＝AF2^2＋F1F2^2＝（AB/2）^2＋（2c）^2＝AB^2/4＋16,
∴20－2√5AB＋AB^2/4＝AB^2/4＋16,∴2√5AB＝20－16＝4,∴AB＝2/√5＝2√5/5.