题目
n大于等于1,θ不是π的倍数,求证sinθ+sin3θ+...+sin((2n-1)θ)=sin^2(nθ)/sinθ
提问时间:2020-11-21
答案
数学归纳法:
(前面略)
假设当N=n时成立,即sinθ+sin(3θ)+...+sin[(2n-1)θ]=sin^2(nθ)/sinθ
则当N=n+1时
sinθ+sin(3θ)+...+sin{[2(n+1)-1]θ}=sin[(2n+1)θ]+sin^2(nθ)/sinθ
={sinθsin[(2n+1)θ]+sin^2(nθ)}/sinθ
={sinθ[sin(2nθ)cosθ+cos(2nθ)sinθ]+[1-cos(2nθ)]/2}/sinθ
={sin(2θ)sin(2nθ)/2+cos(2nθ)[1-cos(2θ)]/2+1/2-cos(2nθ)/2}/sinθ
=[sin(2θ)sin(2nθ)-cos(2θ)cos(2nθ)+1]/(2sinθ)
=[-cos(2nθ+2θ)+1]/(2sinθ)
={-cos[2(n+1)θ]+1}/(2sinθ)
=2sin^2[(n+1)θ]/(2sinθ)
=sin^2[(n+1)θ]/sinθ
所以当N=n时成立,则当N=n+1时也成立,所以原式成立.
(前面略)
假设当N=n时成立,即sinθ+sin(3θ)+...+sin[(2n-1)θ]=sin^2(nθ)/sinθ
则当N=n+1时
sinθ+sin(3θ)+...+sin{[2(n+1)-1]θ}=sin[(2n+1)θ]+sin^2(nθ)/sinθ
={sinθsin[(2n+1)θ]+sin^2(nθ)}/sinθ
={sinθ[sin(2nθ)cosθ+cos(2nθ)sinθ]+[1-cos(2nθ)]/2}/sinθ
={sin(2θ)sin(2nθ)/2+cos(2nθ)[1-cos(2θ)]/2+1/2-cos(2nθ)/2}/sinθ
=[sin(2θ)sin(2nθ)-cos(2θ)cos(2nθ)+1]/(2sinθ)
=[-cos(2nθ+2θ)+1]/(2sinθ)
={-cos[2(n+1)θ]+1}/(2sinθ)
=2sin^2[(n+1)θ]/(2sinθ)
=sin^2[(n+1)θ]/sinθ
所以当N=n时成立,则当N=n+1时也成立,所以原式成立.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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