题目

把N个相同的球分到K个盒子中,每个盒子至少一个,有多少种可能摆法?

提问时间：2020-11-21

答案

共有C(N-1,K-1)种摆法.
若把把N个相同的球分到K个盒子中,不限制单个盒子的个数,可以这样理解,我们把N个球用细线连成一排,再用K-1把刀去砍断细线,就可以把N个球按顺序分为K组（即分装到K个盒子中）.则N个球装入K个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法.而砍线的方法等于N个球与K-1把刀的排列方式.排列方法共有C(N+K-1,N-1),明白这个道理后,go on~
题意中要求每个盒子至少一个,我们不妨先每个盒子平均放下一个求,那么就总共放下K个球,剩下N-K个球供摆设,此时可将这N-K个球随意放入K个盒子中,这个方式和上一段的情形一样,用K-1把刀与N-K个球进行排列,题意就化为这N-K个球与K-1把小刀的排列,变成这K-1把刀如何在（N-K+K-1）个物件中如何排列的问题,排列方法总共有C(N-K+K-1,K-1)=C(N-1,K-1)