题目

设函数f(x)＝clnx+

1

2

x2+bx，且x＝1为f(x)的极值点．
（I）若x=1为f（x）的极大值点，求函数的单调区间（用c表示）；
（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

提问时间：2020-11-21

答案

（I）求导函数，可得f′(x)＝

x2+bx+c

x

∵x=l为f（x）的极大值点，∴f′（1）=0
∴f′(x)＝

(x−1)(x−c)

x

，c＞1，b+c+1=0
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜c时，f′（x）＜0；当x＞c时，f′（x）＞0；
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，若f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，
∴

1

2

+b＜0，∴−

1

2

＜c＜0
②若0＜c＜1，则f_极大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+bc，f_极小（x）=f（1）=

1

2

+b
∵b=-1-c，∴f_极大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(−1−c)＜0，f_极小（x）=f（1）=-

1

2

-c，从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，则f_极小（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(−1−c)＜0，f_极大（x）=f（1）=-

1

2

-c，从而f（x）=0只有一解；
综上，可知f（x）=0恰有两解时，实数c的取值范围为−

1

2

＜c＜0

（I）求导函数，根据x=l为f（x）的极大值点，可得c＞1，b+c+1=0，由此可确定函数的单调区间；
（II）分类讨论：①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，若f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0；②若0＜c＜1，则f_极大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(−1−c)＜0，f_极小（x）=f（1）=-

1

2

-c，从而f（x）=0只有一解；③若c＞1，则f_极小（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+c(−1−c)＜0，f_极大（x）=f（1）=-

1

2

-c，从而f（x）=0只有一解；故可求实数c的取值范围．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值、单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类讨论．