题目

在边长为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则∠APB>120°的概率是 ___ ．

提问时间：2020-11-20

答案

以AB为底边，向正方形外作顶角为120°的等腰三角形，
以等腰三角形的顶点O为圆心，OA为半径作圆，
根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为120°．
即当P取圆O与ABCD的公共部分（弓形），∠APB必大于120°
其中AB=1，OA=

3

3

，O到AB的距离为

3

6

，
故所求的概率为：

S弓形

S正方形

=

S扇形-S△AOB

S正方形

=

1 3 π( 3 3 )2- 1 2 ×1× 3 6

12

=

π

9

-

3

12

，
故答案为：

π

9

-

3

12

本题为几何概型，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．

本题考点：几何概型．

考点点评：本题考查几何概型，关键是要画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，属中档题．