题目

已知函数f(x)＝

−x+3−3a，x＜0 ax，x≥0

（a＞0且a≠1）他满足对任意的x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则a的取值范围是______．

提问时间：2020-11-20

答案

∵对任意的x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴函数f（x）在其定义域内是减函数．
再由函数f(x)＝

−x+3−3a，x＜0 ax，x≥0

（a＞0且a≠1）可得
0＜a＜1，且-0+3-3a≥a⁰，解得 0＜a≤

2

3

，
故答案为 （0，

2

3

]．

由题意可得函数f（x）在其定义域内是减函数，结合函数的解析式得0＜a＜1，且-0+3-3a≥a⁰，由此解得a的取值范围．

本题考点：函数单调性的判断与证明；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，分段函数的应用，属于中档题．