题目

已知数列{an}的前n项和为sn=-n^2+18n,试求数列{|an|}的前n项和Tn的表达式

提问时间：2020-11-20

答案

n=1时,a1=S1=-1²+18×1=17
n≥2时,
Sn=-n²+18n
Sn-1=-(n-1)²+18(n-1)
Sn-Sn-1=an=-n²+18n+(n-1)²-18(n-1)=-2n+19
n=1时,a1=-2+19=17,同样满足.
an-a(n-1)=-2n+19+2(n-1)-19=-2,为定值.
数列{an}是以17为首项,-2为公差的等差数列.
令an≥0
-2n+19≥0 n≤19/2,又n为正整数,1≤n≤9,即数列前9项为正,从第10项开始,以后每一项都为负.
n≤9时,Tn=|a1|+|a2|+...+|an|=a1+a2+...+an=Sn=-n²+18n
n≥10时,
Tn=|a1|+|a2|+...+|an|=a1+a2+...+a9-a10-a11-...-an
=-(a1+a2+...+an)+2(a1+a2+...+a9)
=-(-n²+18n)+2(-9²+18×9)
=n²-18n+162