题目

狄利克雷函数是R上几乎处处连续得吗?
我知道它是处处不连续的,在实变里是几乎处处连续的吗?

提问时间：2020-11-20

答案

F(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)
基本性质
1、定义域为整个实数域 R
2、值域为 {0,1}
3、函数为偶函数
4、无法画出函数图像
5、以任意正有理数为其周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
分析性质
1、处处不连续
2、处处不可导
3、在任何区间内黎曼不可积
4、函数是可测函数
5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积,且勒贝格积分值为 0（且任意区间（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）
函数周期
狄利克雷函数是周期函数,但是却没有最小正周期,它的周期是任意有理数,而非无理数.