题目
如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是平行四边形ABCD外一点,且AE垂直CE,BE垂直DE,求证四边形ABCD是矩形
及
及
提问时间:2020-11-20
答案
证明:
如图,
定律:平行四边形的对角线互相平分.
以AC为直径、点O为圆心作圆,则点A、C位于圆上,同时点E也在圆上,因为AE垂直CE(圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形,圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E)
以BD为直径、点O为圆心作圆,则点B、D位于圆上,同时点E也在圆上,因为BE垂直DE(圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形,圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E)
因为2个圆都是以点O为圆心,
(1)若AC=BD,则满足已知条件,说明2个圆的大小与位置完全一样、可以认定是同一个圆,则四边形的四个顶点都在同一圆上,则四个角都是直角(圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形)
或直接证明为:对角线相等的平行四边形是矩形.
(2)若AC不等于BD,但2个圆又是同心的,则2个圆不可能有交点、即点E的存在,不满足已知条件.
如图,
定律:平行四边形的对角线互相平分.
以AC为直径、点O为圆心作圆,则点A、C位于圆上,同时点E也在圆上,因为AE垂直CE(圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形,圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E)
以BD为直径、点O为圆心作圆,则点B、D位于圆上,同时点E也在圆上,因为BE垂直DE(圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形,圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E)
因为2个圆都是以点O为圆心,
(1)若AC=BD,则满足已知条件,说明2个圆的大小与位置完全一样、可以认定是同一个圆,则四边形的四个顶点都在同一圆上,则四个角都是直角(圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形)
或直接证明为:对角线相等的平行四边形是矩形.
(2)若AC不等于BD,但2个圆又是同心的,则2个圆不可能有交点、即点E的存在,不满足已知条件.
举一反三
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