题目

定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0.推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续,有理点处处不连续
不矛盾吗.

提问时间：2020-11-20

答案

我想对这个结论的证明你肯定看到了,并且结论是这样的.你感觉矛盾是直观上不接受.
尽管有理点在这个区间上稠密,但有理点的取值能取大的很少（大小只是相对.实际上,给定任何一个小于1的数,能取比这个数大的有理点都是有限个）,【这些大的数值是不在这个区间上稠密的】.任意给定一个小于1的数,在这个区间任何子区间上都能找到一个更小的子区间,在这个小的子区间上,尽管有有理数,但有理点的函数值能比给定的数小.所以极限处处为0不难理解.
这样,在无理点的任何邻域尽管有无穷多个有理点,但数值大的不多（给定一个小于1的数,只有有限个有理点的数值能比这个数大）,剩下的无穷多个有理点函数值都很小,和0差不多.因此在无理点连续很正常.
对有理点处处不连续,因为对固定的有理点它的函数值是确定的值,而它的任何邻域里总有无理点.还有函数值比这点的函数值更小的无穷多个有理点,这样它和附近的函数值差别就比较大.
连续的本质就是两点距离很近,则函数值就差不多.在有理点做不得这一点.
这是为的直观理解,不知是否正确,欢迎讨论!