题目
已知函数f(x)=x|x-2m|,设-2<m<0,记f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x))(k∈N*),则函数y=f2014(x)的零点个数为( )
A. 2
B. 3
C. 2014
D. 2015
A. 2
B. 3
C. 2014
D. 2015
提问时间:2020-11-20
答案
∵f(x)=x|x-2m|=0的解只有两个 x=0 或x=2m,
∴对于fk+1(x)=0,fk(x)=0 或者 fk(x)=2m,
假设数列{an}对应的就是fn(x)=0的解,
设fk(x)=2m的解个数为r,
那么就有 an+1=an+r,
对应fk(x)=2m的交点所在的函数图象部分恰好是单调的,解的个数是1个.
∴an+1=an+1是一个等差数列.
∴fn(x)=0的解个数就是 n+1个;
故函数y=f2014(x)的零点个数为2014+1=2015个,
故选:D.
∴对于fk+1(x)=0,fk(x)=0 或者 fk(x)=2m,
假设数列{an}对应的就是fn(x)=0的解,
设fk(x)=2m的解个数为r,
那么就有 an+1=an+r,
对应fk(x)=2m的交点所在的函数图象部分恰好是单调的,解的个数是1个.
∴an+1=an+1是一个等差数列.
∴fn(x)=0的解个数就是 n+1个;
故函数y=f2014(x)的零点个数为2014+1=2015个,
故选:D.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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