题目
证明:一水平光线射到抛物线上一点,经抛物线反射后,反射光线必过焦点
为什么会经过焦点啊
为什么会经过焦点啊
提问时间:2020-11-19
答案
令抛物线:y^2=2px(p>0)
令水平光线:y=a(a≠0)
令水平光线与抛物线的交点(入射点)为P
则联立抛物线与直线方程有a^2=2px,即x=a^2/2p
由此可得到坐标P(a^2/2p,a)
由反射原理可知,入射角=反射角
即入射光线与反射面的法线的夹角=反射光线与反射面的法线的夹角
(这里反射面的法线就是入射光线与反射光线的夹角的平分线)
而反射面的法线与入射点P的切线互相垂直
易知入射点P处的切线为ay=p(x+a^2/2p)(直接替换法)
则入射点P处的切线的斜率为p/a
于是入射点P处的法线的斜率为k=-a/p
而水平光线(入射光线)的斜率为k1=0
令反射光线的斜率为k2
则有(k-k1)/(1+k1*k)=(k2-k)/(1+k2*k)
即有k2=2k/(1-k^2)=2pa/(a^2-p^2)
由点斜式可知反射光线:y-a=2pa/(a^2-p^2)*(x-a^2/2p)
令y=0,则有x=p/2
表明反射光线经过点(p/2,0)
该点即抛物线y^2=2px的焦点
令水平光线:y=a(a≠0)
令水平光线与抛物线的交点(入射点)为P
则联立抛物线与直线方程有a^2=2px,即x=a^2/2p
由此可得到坐标P(a^2/2p,a)
由反射原理可知,入射角=反射角
即入射光线与反射面的法线的夹角=反射光线与反射面的法线的夹角
(这里反射面的法线就是入射光线与反射光线的夹角的平分线)
而反射面的法线与入射点P的切线互相垂直
易知入射点P处的切线为ay=p(x+a^2/2p)(直接替换法)
则入射点P处的切线的斜率为p/a
于是入射点P处的法线的斜率为k=-a/p
而水平光线(入射光线)的斜率为k1=0
令反射光线的斜率为k2
则有(k-k1)/(1+k1*k)=(k2-k)/(1+k2*k)
即有k2=2k/(1-k^2)=2pa/(a^2-p^2)
由点斜式可知反射光线:y-a=2pa/(a^2-p^2)*(x-a^2/2p)
令y=0,则有x=p/2
表明反射光线经过点(p/2,0)
该点即抛物线y^2=2px的焦点
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点
- 1The student ______ continuing his studies when he had to return to his home country unexpectedly.
- 2求二元一次方程m,n的解:(m-2) *x的(m-1)次方+(n-1)*y的(2x-3)次方=9
- 3这就是我想去的地方用英语怎么说?
- 4无()无()式的四字词语(100个以上)
- 5一个正数的绝对值是整数,一个负数的绝对值也是正数,这句话对吗?
- 6we went to (the great wall)last month对括号里提问
- 7离城50英里 用英语翻译
- 8填含“然”的成语
- 9怎样用尺规做30° 60° 45°角
- 10天太热了,小勤倒了一杯汽水喝.一不小心,一块菜屑掉入汽水杯内.小勤正想用筷子把它夹起来,只见菜屑周围附着许多小气泡,紧接着菜屑就浮上来了.菜屑浮到水面后,马上又沉下去了,一会儿又浮上来,又沉下去.就这