题目

如何证明下列数列的极限存在,并求其极限
根号二,根号下二加根号二,根号下二加根号下二加根号二·····
根号这个符号我不知道怎么打,
写过大侠们

提问时间：2020-11-19

答案

后项=根号(前项+2) (*)
首先证明每一项都小於2.这一点可以归纳证:
(1) 根号2小于2
(2) 假设前项小於2,则前项+2 小于4,所以后项=根号(前项+2)小於2.
由数学归纳法知全部项小於2.
再证此数列单调增.
由于每一项都小于2,所以
后项 = 根号(前项+2) > 根号(前项+前项) = 根号(2*前项) >根号(前项*前项)
=前项.
所以此数列单调递增有上界,极限存在,设为a.
由(*),两边取极限得
a = 根号(a+2)
解得 a = 2 或 a=-1(舍去)
所以极限为2.