题目
老师您好,我想问一下证明设A是正定矩阵,则A+A逆也是正定矩阵
提问时间:2020-11-19
答案
先证A^(-1)正定;
A正定,则A合同于E,
所以,存在C可逆,C^TAC=E;
则两边取逆,C^(-1){A^(-1)}C^(-1)^T=E;
所以,A^(-1)合同于E;
所以A^(-1)正定;
由于A,A^(-1)正定;
所以,任意X,X^TAX>0;
X^TA^(-1)X>0;
所以X^T(A+A^(-1))X=X^TAX+X^TA^(-1)X>0;
所以(A+A^(-1))正定.
A正定,则A合同于E,
所以,存在C可逆,C^TAC=E;
则两边取逆,C^(-1){A^(-1)}C^(-1)^T=E;
所以,A^(-1)合同于E;
所以A^(-1)正定;
由于A,A^(-1)正定;
所以,任意X,X^TAX>0;
X^TA^(-1)X>0;
所以X^T(A+A^(-1))X=X^TAX+X^TA^(-1)X>0;
所以(A+A^(-1))正定.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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