题目

在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大

提问时间：2020-11-19

答案

将向量L单位化可得其方向余弦：L0= (1,-1,0) / (√2)
对函数f求偏导数：f'x=2x,f'y=2y,f'z=2z,
由方向导数公式得 f'L=f'x * (1/√2) + f'y * (-1/√2)= (√2) (x-y)
以下就是求函数 H(x,y,z) = (√2) (x-y) 在条件 2x^2+2y^2+z^2=1下的最大值.用Lagrange乘数法.
构造函数 L(x,y,z)= (√2) (x-y) + k ( 2x^2+2y^2+z^2 -1)
令 L'x=0,L'y=0,L'z=0,L'k=0
得 √2 +4kx=0,-√2 +4ky=0,2kz=0,2x^2+2y^2+z^2=1(先由第三个得z=0,再由第一第二得x=-y,
代入第四个就可求x,y,z)
解得可能极值点 （-1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0)
比较这两点处H的值,得 Hmax= H(1/2,-1/2,0) = √2,所求的点为 (1/2,-1/2,0)