题目

在△ABC中,a²+c²=2b²,其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边长.（1）求证:B≤6
在△ABC中,a²+c²=2b²,其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边长.
（1）求证:B≤60°
（2）若B=45°,且A为钝角,求A

提问时间：2020-11-19

答案

（1）2b²=a²+c²>=2ac 即b^2>ac
余弦定理 cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=b^2/2ac>=1/2
y=cosx在（0,90°）内是减函数,所以
B<=60°
（2）B=45°
正弦定理
a/sinA=c/sinC=b/sinB
所以
a²+c²=2b² 变为
sin^2A+sin^2C=2sin^2B=1
sin^2A+sin^2(135°-A)=1
sin^2A+1/2(sinA+cosA)^2=1
sin^2A+1/2(sinA+cosA)^2
=sin^2A+1/2+sinAcosA
=(1-cos2A)/2+1/2+1/2sin2A
=+1/2sin2A-1/2cos2A+1
=1
所以 sin2A=cos2A A为钝角A∈（90°,180°） 2A∈（180°,360°）
所以 2A=225°
S=112.5°