题目

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：A₁D⊥B₁C₁；
（2）判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论．

提问时间：2020-11-18

答案

证明：（1）∵点D是正△ABC中BC边的中点，
∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥BC
∵A₁A⊂平面A₁AD，AD⊂平面A₁AD，A₁A∩AD=A
∴BC⊥平面A₁AD，
∵A₁D⊂平面A₁AD，
∴A₁D⊥BC，
∵BC∥B₁C₁，
∴A₁D⊥B₁C₁．
（2）直线A₁B∥平面ADC₁，证明如下：
连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF∥A₁B，
又DF⊂平面ADC₁，A₁B⊄平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．