题目
已知抛物线y²=2px的焦点为F 过F的直线与抛物线交与AB两点 A,B在抛物线准线上的射影为A1B1
点M是A1B1的中点 若AF=m BF=n 则MF=?
点M是A1B1的中点 若AF=m BF=n 则MF=?
提问时间:2020-11-18
答案
MF=√(mn),本题的解形式不唯一,因为mnp的取值互相制约,需满足(m-p)/m+(n-p)/n=0的条件,mnp里有1个数是多余的条件,p=2mn/(m+n).我只是给了一个比较简单的表达式.
抛物线焦点F(p/2,0),准线L为x=-p/2.
AA1=AF=m,BB1=BF=n,AB=m+n,AB'=m-n.
所以A1B1=BB'=√(AB²-AB'²)=√((m+n)²-(m-n)²)=2√(mn),故A1M=B1M=√(mn).
先说一个比较巧的几何学方法:
BM=√(MB1²+B1B²)=√(n²+mn),同理AM=√(m²+mn),
因为BM=√(n(n+m))=√(BF×AB),因此BM/BF=AB/BM,所以三角形FMB和三角形AMB相似.
所以MF=MB/AB×AM=√(n(n+m))/(n+m)×√(m(n+m))=√(mn).
我图画的不好,实际上MF和AB垂直,AM和MB垂直.
下面是另一个比较硬算的方法:
点N为AB中点,则FN=AF-AN=m-(m+n)/2=(m-n)/2.
M的y坐标=FNsin(FNM)=FNsin(BAB')=(m-n)/2×2√(mn)/(m+n)=(m-n)√(mn)/(m+n).
sin(BFO)=(FL-BB1)/FB=(p-n)/n,同理sin(AFx)=(AA1-FL)/FA=(m-p)/m,因为角度相等,得
(p-n)n+(p-m)/m=0,得p=2mn/(m+n).
所以由勾股定理,因为F到准线距离为p=2mn/(m+n)已知,则
MF=√(p²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√(4m²n²/(m+n)²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√((mn)(4mn+(m-n)²)/(m+n)²)
=√((mn)(m+n)²/(m+n)²)=√(mn).
抛物线焦点F(p/2,0),准线L为x=-p/2.
AA1=AF=m,BB1=BF=n,AB=m+n,AB'=m-n.
所以A1B1=BB'=√(AB²-AB'²)=√((m+n)²-(m-n)²)=2√(mn),故A1M=B1M=√(mn).
先说一个比较巧的几何学方法:
BM=√(MB1²+B1B²)=√(n²+mn),同理AM=√(m²+mn),
因为BM=√(n(n+m))=√(BF×AB),因此BM/BF=AB/BM,所以三角形FMB和三角形AMB相似.
所以MF=MB/AB×AM=√(n(n+m))/(n+m)×√(m(n+m))=√(mn).
我图画的不好,实际上MF和AB垂直,AM和MB垂直.
下面是另一个比较硬算的方法:
点N为AB中点,则FN=AF-AN=m-(m+n)/2=(m-n)/2.
M的y坐标=FNsin(FNM)=FNsin(BAB')=(m-n)/2×2√(mn)/(m+n)=(m-n)√(mn)/(m+n).
sin(BFO)=(FL-BB1)/FB=(p-n)/n,同理sin(AFx)=(AA1-FL)/FA=(m-p)/m,因为角度相等,得
(p-n)n+(p-m)/m=0,得p=2mn/(m+n).
所以由勾股定理,因为F到准线距离为p=2mn/(m+n)已知,则
MF=√(p²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√(4m²n²/(m+n)²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√((mn)(4mn+(m-n)²)/(m+n)²)
=√((mn)(m+n)²/(m+n)²)=√(mn).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点
- 1意气奋发的意思是什么?有这个成语吗?
- 2文题中“一个字熬人生”中的熬字有什么作用
- 3空气中氮气的体积分数约为78%,试求空气中氮气的质量分数.
- 4高一英语,请解答.
- 5已知方程(2m-6)x^lm-2l+(n-2)y^n-3=0是二元一次方程,求m,n的值.
- 6为什么有了指南针还要有指北针
- 7小明总是不懂装懂,你会对他说:“”(填名句)
- 8某饼店来了三位顾客,急着买饼赶火车,只能等16分钟,小厨师说三张饼烙不出来,因为烙熟饼的一面要5分钟,锅里一次只能放张饼,烙熟三张饼要用20分钟,大厨说动动脑筋15分钟就能把三张饼烙出来,该怎么烙呀!
- 9宇宙存在了多久?
- 10已知函数f(x)=x^3+3x 对于所有t属于R f(t^2-t)+f(3t^2-k)>0 则实数K的取值范围是