题目

求函数f(t)=(1+sint)/(2+cost) 的最值.

提问时间：2020-11-18

答案

求函数f(t)=(1+sint)/(2+cost) 的最值.
解 令k=(1+sint)/(2+cost),则k可看成坐标平面XOY内过点A(cost,sint) 及B(-2,-1) 的直线斜率.
由于A在圆 x^2+y^2=1上运动,可见,当直线BA是圆的切线时,斜率k取得极值.
设过B点的切线方程为:y+1=k(x+2) y=kx+2k-1.则
｜2k-1｜=√(1+k^2) .(2k-1)^2=1+k^2.
解得:k1=0,k2=4/3.
故f(t) 的最小值为0,f(t) 的最大值为4/3.
解 设tan(A/2)=x,则sinA=2x/(1+x^),cosA=(1-x^2)/(1+x^2).
对f(A)作置换得:令y=f(A)
y=(x^2+2x+1)/(x^2+3)
[y-1]x^2+2x+3y-1=0
因为f(A)是实数,由判别式得:
4-4(y-1)*(3y-1)≥0
3y^2-4y≤0
解此不等式得:0≤y≤4/3.
所以f(A)=(sinA-1)/(cosA-2)的最大值为4/3,最小值为0.