题目

已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂x，则满足不等式f（x）＞0的x的取值范围是______．

提问时间：2020-11-18

答案

∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即f（x）=-f（-x），∵x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=log₂（-x）=-f（x），即f（x）=-log₂（-x），
当x=0时，f（0）=0；
∴f（x）=

log2x，x＞0 0，x＝0 −log2(−x)，x＜0

当x＞0时，由log₂x＞0解得x＞1，当x＜0时，由-log₂（-x）＞0解得x＞-1，
∴-1＜x＜0，综上，得x＞1或-1＜x＜0，故x的取值范围为（-1，0）U（1，+∞）．
故答案为：（-1，0）U（1，+∞）．

首先令x＜0，则-x＞0，结合已知条件和奇函数的性质，求出此时f（x）的解析式，又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0两种情况分别求出f（x）＞0的解集，最后求其并集．

本题考点：对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题通过不等式的求解，考查了分段函数解析式的求法和奇函数的性质，同时考查了转化思想和分类讨论思想以及学生的基本运算能力，是高考热点内容．