题目

设两个集合P={x|x=2n+1,n∈Z},集合Q={x|x=4n±1,n∈Z},证明P=Q的解题方案

提问时间：2020-11-17

答案

要证明p=Q,只要证明PQ互为对方的子集就可以了
（1）设a∈P,则a=2n+1,a∈Z
若a是偶数,则可设a=2b,则x=2×2b+1=4b+1,所以a∈Q
若a是奇数,则可设a=2b-1,则x=2×(2b-1)+1=4b-1,所以a∈Q
所以不论a是奇数还是偶数,都有a∈Q,所以p是Q的子集
（2）设m∈Q,则m=4n±1
因为 m=4n+1=2×2n+1 或 m=4n-1=2×（2n-1）+1 ,又因为m∈Z ,2n∈Z ,2n-1∈Z
所以Q是p的子集
综上p=Q