题目

已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f(x)＝lnx−ax(a＞

1

2

)，当x∈（-2，0）时，f（x）的最小值为1，
则a的值等于（　　）
A.

1

4

B.

1

3

C.

1

2

D. 1

提问时间：2020-11-17

答案

∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（0，2）上的最大值为-1，
当x∈（0，2）时，f′(x)＝

1

x

−a，令f'（x）=0得x＝

1

a

，又a＞

1

2

，∴0＜

1

a

＜2．
令f'（x）＞0时，x＜

1

a

，f（x）在(0，

1

a

)上递增；
令f'（x）＜0时，x＞

1

a

，f（x）在(

1

a

，2)上递减；
∴f(x)max＝f(

1

a

)＝ln

1

a

−a•

1

a

＝−1，∴ln

1

a

＝0，
得a=1．
故选D．

利用奇函数的性质，求出x∈（0，2）时函数的最大值为-1，通过导数求出函数的最大值，然后求出a．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数最值的应用．

考点点评：本题考查函数奇偶性，函数最大值的求法，导数的应用，考查计算能力，是中档题．