题目

求证lim[（1^p+2^p+……+n^p）/n^p — n/(p+1)]=1/2,n→∞,p为自然数
目前只学了数列极限,求极限不会用别的办法,这是stolz定理里面的一道题,不知道怎么用stolz定理来做,麻烦用一个比较初级的办法帮忙做,

提问时间：2020-11-16

答案

lim[（1^p+2^p+……+n^p）/n^p — n/(p+1)]=1/2,n→∞
lim[（1^p+2^p+……+n^p）/n^p — n/(p+1)],n→∞
= lim{[(1^p+2^p+……+n^p）（p+1）-n^(p+1)]/[n^p *(p+1)]},n→∞(这一步好像叫同分母吧)
=lim[(（n^p)(p+1）-n^(p+1)+(n-1)^(p+1))/((n^p-(n-1)^p)*(p+1)],n→∞(用stolz定理)
=lim[(（n^p)(p+1）-n^(p+1)+n^(p+1)-(p+1)n^p+(p+1)p/2*n^(p-1)-...)/((n^p-n^p+pn^(p-1)-...)*(p+1)],n→∞((n-1)^(p+1)展开,(n-1)^p展开)
=lim[(p+1)p/2*n^(p-1)-...)/((pn^(p-1)-...)*(p+1)],n→∞
=1/2,n→∞(两个“...”都是n^(p-1)的高阶无穷小)
用stolz定理还是比较方便的