题目

已知，在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA＝

3

5

提问时间：2020-11-16

答案

（1）过点D作DH⊥AE，垂足为点H．
∵∠A=∠AED，
∴AD=ED，
∴AH＝

1

2

AE，
∵cosA＝

3

5

，AD=x，
∴AH＝

3

5

x，
∴AE＝

6

5

x．
（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G．
∴

DG

AB

＝

CD

AC

，
∵AB=4，AC=5，
∴

DG

4

＝

5−x

5

，
∴DG＝

20−4x

5

，
∵AB∥DG，
∴

BE

DG

＝

FE

FD

，
∵BE＝4−

6

5

x，EF=y，
∴

4− 6 5 x

20−4x 5

＝

y

y+x

，
∴y＝10−3x(0＜x＜

10

3

)．
（3）∵∠AED=∠FEB，∠AED=∠A，
∴∠A=∠FEB，
当△AEC与△BEF相似时，有两种情况：
①∠A=∠FEB，

AE

AC

＝

BE

EF

，
∴

6 5 x

5

＝

4− 6 5 x

y

，
又∵y=10-3x，
∴x＝

5

3

；
②∠A=∠FEB，

AE

AC

＝

EF

BE

，
∴

6 5 x

5

＝

y

4− 6 5 x

，
又∵y=10-3x，
∴x＝

125

12

（舍）．
综上所述，当x＝

5

3

时，△AEC与△BEF相似．