题目

已知f(x)是定义在实属集R上的不恒为零的函数,且对于任意a,b满足f(2)=2,f(ab)=af(b)+bf(a）
记an=f(2的n次方）/n,bn=f(2的n次方）/2的n次方,其中n属于非零自然数,考察下列结论：1.f(o)=f(1) 2.f(x)是R上的偶函数 3.数列an为等比数列 4.数列bn为等差数列 其中正确的序号是
3.数列an为等比数列. 就第3问不会做，请详细写出解题过程。

提问时间：2020-11-16

答案

其实会证4的话,就应该会证3.
取a = 2^n,b = 2,代入条件得f(2^(n+1)) = 2f(2^n)+2^(n+1).
故b[n+1] = f(2^(n+1))/2^(n+1) = f(2^n)/2^n+1 = b[n]+1.
又由b[1] = f(2)/2 = 1,可知b[n] = n.
于是f(2^n) = b[n]·2^n = n·2^n,a[n] = f(2^n)/n = 2^n.
即得a[n]为等比数列.