题目

使3^n+81是完全平方数的正整数n有几个

提问时间：2020-11-16

答案

容易验证n=1,2,3,4都不可行,所以n≥5.
3^n+81=3^4*[3^(n-4)+1]
要使3^n+81是完全平方数,则3^(n-4)+1是完全平方数,设
3^(n-4)+1=k^2,于是
3^(n-4)=(k-1)(k+1),注意到两个正整数k-1与k+1相差2,所以不可能同为3的倍数,但二者之积却是3的幂,也就是说二者也都是3的幂,只有一种情况：
k-1=1,k+1=3,这时k=2,n=5.
也就是说只有n=5时,3^n+81是完全平方数.