题目

已知函数f(x)=(px平方＋2)/(q－3x)是奇函数,且f(2)=-5/3 (1)求函数f(x
已知函数f(x)=(px平方＋2)/(q－3x)是奇函数,且f(2)=-5/3
(1)求函数f(x)的解析式
(2)判断函数f(x)在（0,1)上的单调性,并加以证明

提问时间：2020-11-15

答案

⑴∵函数f(x)=(px²+2)/(q−3x)是奇函数,
∴(px²+2)/(q+3x)=−(px²+2)/(q−3x)
∴q=0,
∴f(x)=(px²+2)/(−3x)
∵f(2)=-5/3,
∴p=2
∴f(x)=(2x²+2)/(−3x)=-2/3·(x+1/x)
⑵增函数
设x1＜x2,x1,x2∈(0,1)
f(x1)−f(x2)=−2/3·(x1+1/x1−x2-1/x2)
=-2/3×(x1−x2)(x1x2-1)/x1x2
∵x1＜x2,x1,x2∈(0,1)
∴f(x1)-f(x2)＜0
∴函数f(x)在(0,1)上单调增.
【本题以函数的性质为载体,考查函数的解析式,考查函数单调性的判断与证明,注意掌握步骤：取值、作差、定号,下结论．】
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