题目
求满足2p2+p+8=m2-2m的所有素数p和正整数m.
提问时间:2020-11-15
答案
由题设得p(2p+1)=(m-4)(m+2),
由于p是素数,故p是(m-4)的因数,或p是(m+2)的因数.(5分)
(1)若p整除(m-4),令m-4=kp,k是正整数,于是m+2>kp,3p2>p(2p+1)=(m-4)(m+2)>k2p2,故k2<3,从而k=1,
所以
解得
(10分)
(2)若p整除(m+2),令m+2=kp,k是正整数.
当p>5时,有m-4=kp-6>kp-p=p(k-1),3p2>p(2p+1)=(m-4)(m+2)>k(k-1)p2,
故k(k-1)<3,从而k=1,或2,
由于p(2p+1)=(m-4)(m+2)是奇数,所以k≠2,从而k=1,
于是
,
这不可能.当p=5时,m2-2m=63,m=9;当p=3,m2-2m=29,无正整数解;
当p=2时,m2-2m=18,无正整数解.
综上所述,所求素数p=5,正整数m=9.(20分)
由于p是素数,故p是(m-4)的因数,或p是(m+2)的因数.(5分)
(1)若p整除(m-4),令m-4=kp,k是正整数,于是m+2>kp,3p2>p(2p+1)=(m-4)(m+2)>k2p2,故k2<3,从而k=1,
所以
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(2)若p整除(m+2),令m+2=kp,k是正整数.
当p>5时,有m-4=kp-6>kp-p=p(k-1),3p2>p(2p+1)=(m-4)(m+2)>k(k-1)p2,
故k(k-1)<3,从而k=1,或2,
由于p(2p+1)=(m-4)(m+2)是奇数,所以k≠2,从而k=1,
于是
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这不可能.当p=5时,m2-2m=63,m=9;当p=3,m2-2m=29,无正整数解;
当p=2时,m2-2m=18,无正整数解.
综上所述,所求素数p=5,正整数m=9.(20分)
首先原方程可变形为p(2p+1)=(m-4)(m+2),再根据素数p和正整数m分别列式求解即可.
二元一次方程组的应用.
解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.本题还涉及到数的整除,完全平方公式等知识点,难度比较大.
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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