题目

概率中关于期望E和方差X的选择题,给我解释一下为什么选或不选
如果E（XY）=E(X)E(Y),则下列错误的是
A、D(X-Y)=D(X)+D(Y)
B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C、X与Y一定不相关
D、X与Y一定相互独立
我查了课本,如果X与Y相互独立,才有E（XY）=E(X)E(Y),那么这道题就没正确选项了吧?因为题目说了E（XY）=E(X)E(Y),所以X与Y相互独立,所以独立推出不相关,选项A和B显然也是独立的情况下推出来的,那么所有选项都是正确的,而这道题让选不正确的,求教

提问时间：2020-11-14

答案

这个题应该选D.D是唯一一个错误的选项.
因为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以若E（XY）=E(X)E(Y),则协方差为0,于是选项A和选项B都是正确的.另外协方差为0,则相关系数为0,于是X与Y不相关,所以选项C也是正确的.最后只有选D了.
若X与Y相互独立,则必有E（XY）=E(X)E(Y),从而X与Y一定是不相关的.反之,若X与Y不相关,则X与Y未必相互独立.但一种特殊情况例外：
若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立的充分必要条件是X与Y不相关.
把上面的结果推广到n维正态分布也是成立的.