题目

斜率为1,在y轴上的截距为b的直线L与椭圆x2/4+y2/2=1交于A,B两点,o是原点,当△AOB的面积最大时,求L的方程

提问时间：2020-11-14

答案

直线L的方程显然是y＝x＋b.
联立：y＝x＋b、x^2/4＋y^2/2＝1,消去y,得：x^2/4＋（x＋b）^2/2＝1,
∴x^2＋2（x^2＋2bx＋b^2）＝4,∴3x^2＋4bx＋2b^2－4＝0.
∵点A、B都在直线L上,∴可令A、B的坐标分别是（m,m＋b）、（n,n＋b）.
显然,m、n是方程3x^2＋4bx＋2b^2－4＝0的两根,∴由韦达定理,有：
m＋n＝－4b/3、mn＝（2b^2－4）/3.
改写直线L的方程,得：x－y＋b＝0,∴点O的AB的距离d＝｜b｜/√2.
又｜AB｜＝√［（m－n）^2＋（m＋b－n－b）^2］＝√2×√［（m＋n）^2－4mn］
＝√2×√［16b^2/9－4（2b^2－4）/3］＝（4/3）√（2b^2－3b^2＋6）＝（4/3）√（6－b^2）.
∴△AOB的面积
＝（1/2）｜AB｜d＝（1/2）（｜b｜/√2）（4/3）√（6－b^2）
＝（√2/3）√（6b^2－b^4）＝（√2/3）√［9－（9－9b^2＋b^4）］
＝（√2/3）√［9－（3－b^2）^2］.
∴当b^2＝3时,△AOB的面积有最大值,由b^2＝3,得：b＝√3,或b＝－√3.
∴满足条件的直线L的方程有两条,分别是：y＝x＝√3；　y＝x－√3.