题目

已知α是第四象限角，

sin3α

sinα

=

13

5

，则tan2α= ___ ．

提问时间：2020-11-14

答案

∵sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα+cos2αsinα，
∴

sin3α

sinα

=

sin2αcosα+cos2αsinα

sinα

=2cos²α+cos2α=2cos²α+2cos²α-1=

13

5

，
整理得：4cos²α-1=

13

5

，解得：cosα=

3 10

10

或cosα=-

3 10

10

，
∵α是第四象限角，∴cosα=

3 10

10

，
∴sinα=-

1-cos2α

=-

10

10

，
∴tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

，
则tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

3

4

．
故答案为：-

3

4

将已知等式左边的分子中的角3α变形为2α+α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，约分后再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cosα的方程，求出方程的解得到cosα的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，最后利用二倍角的正切函数公式化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．

本题考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．

考点点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．