题目

设f（x）的定义域为（0,+∞）,对于任意正实数m,n恒有f(m*n)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(1/2)=-1
(1)求f(2)的值
(2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数
（3）解不等式f(x)≥2+f(3/x-4)

提问时间：2020-11-14

答案

1.
令m=n=1
f(mn)=f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
f[2×(1/2)]=f(1)=f(2)+f(1/2)=-1+f(2)=0
f(2)=1
2.
令n>m>0,不妨设n=md,其中d>1
f(n)-f(m)
=f(md)-f(m)
=f(m)+f(d)-f(m)
=f(d)
d>1,f(d)>0,f(n)-f(m)>0
f(n)>f(m)
函数在(0,+∞)上是增函数.
3.
3/x-4到底是3/(x-4)还是(3/x) -4啊?写得太不清楚了,建议以后多加括号,更明确些.
按3/(x-4)算吧,如果是(3/x) -4,方法是一样的,你自己算一下.
f(2)=1
f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2
2+f[3/(x-4)]=f(4)+f[3/(x-4)]=f[12/(x-4)]
函数定义域为(0,+∞)
x,3/(x-4),12/(x-4)均在定义域上.
x>0 3/(x-4)>0 12/(x-4)>0,解得x>4
f(x)≥f[12/(x-4)]
x≥12/(x-4)
x(x-4)-12≥0
x²-4x-12≥0
(x-6)(x+2)≥0
x≥6或x≤-2,又x>4,因此
x≥6