题目

若m、n都是正实数，方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有实数根，则m+n的最小值是（　　）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

提问时间：2020-11-13

答案

∵方程都有实根，
∴

m2−8n≥0 4n2−4m≥0

，
∴m²≥8n，n²≥m．
∵m、n都是正实数，
因此有m⁴≥64n²≥64m，
∴m（m³-64）≥0，因m＞0，则m³≥64，m≥4，所以m最小值是4；
又n²≥m，n²≥4得n≥2，即n的最小值为2，
故m+n的最小值为6．
故选B．

由方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有实数根，则有m²-8n≥0，即m²≥8n；4n²-4m≥0，即n²≥m．通过不等式变形得：m⁴≥64n²≥64m，得m最小值是4；则n²≥m，得n≥2即n的最小值为2，由此得到m+n的最小值．

本题考点：根的判别式．

考点点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了式子的变形能力和不等式的解法．