题目

设A为四阶方阵，且秩（A）=2，则齐次线性方程组A^*x=0（A^*是A的伴随矩阵）的基础解系所包含的解向量的个数为___．

提问时间：2020-11-13

答案

对n阶矩阵A，
①若r（A）=n，则

.

A

.

≠0∵

.

AA*

.

=

.

. A . E

.

，

.

A

.

.

A*

.

=

.

A

.

n，∴

.

A*

.

=

.

A

.

n-1≠0，即r（A^*）=n
②若r（A）=n-1，则A至少有一个n-1阶的子矩阵的秩为n-1，也就是A^*中有至少一个元素不为0，∴1≤r（A^*）＜n
③若r（A）＜n-1，则A的n-1阶子矩阵的秩都小于n-1，也就是A^*的元素全为0，∴r（A^*）=0
因为矩阵A的秩r（A）=2＜n-1=4-1=3，所以r（A^*）=0，
A^*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-0=4．

考查矩阵与其伴随矩阵的秩之间存在的关系

本题考点：基础解系、通解及解空间的概念

考点点评：n阶矩阵A与它的伴随矩阵的行列式和秩都存在很多联系