题目

关于全等三角形的
已知:在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,M是AC的中点,AD⊥BM垂足为F.求证：∠AMB=∠CMD

提问时间：2020-11-11

答案

题目应该加一条件：D在BC上.
另外：AB＝AC是多余的,这可由∠ABC=∠ACB=45°推出的
证明：
过C作CE//AB交AD的延长线于E
因为∠ABC=∠ACB=45°
所以∠BAC＝90°
所以∠BAF＋∠MAF＝90,
因为∠BAF＋∠ABF＝90
所以∠ABF＝∠MAF
因为CE//AB,∠BAC＝90
所以∠ACE＝90
又因为AB＝AC
所以△BAM≌△ACE（ASA）
所以AM＝CE,∠AMB＝∠E
因为M是AC的中点
所以AM＝CM
所以CM＝CE
因为∠ACE＝90,∠ACB＝45
所以∠ACB＝∠BCE＝45
又因为CD＝CD
所以△MCD≌△ECD（SAS）
所以∠CMD＝∠E
所以∠AMB=∠CMD