题目
已知各项均为实数的数列{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,且满足S4=2S2+8.
(1)求公差d的值;
(2)若数列{an}的首项的平方与其余各项之和不超过10,则这样的数列至多有多少项;
(3)请直接写出满足(2)的项数最多时的一个数列(不需要给出演算步骤).
(1)求公差d的值;
(2)若数列{an}的首项的平方与其余各项之和不超过10,则这样的数列至多有多少项;
(3)请直接写出满足(2)的项数最多时的一个数列(不需要给出演算步骤).
提问时间:2020-11-11
答案
(1)根据题意可知:4a1-6d=2(2a1-d)+8,解得d=2;
(2)考虑到d=2,且首项的平方与其余各项之和不超过10,所以可用枚举法研究.
①当a1=0时,02+d+2d=0+2+4≤10,而02+d+2d+3d=0+2+4+6>10,此时,数列至多3项;
②当a1>0时,可得数列至多3项;
③当a1<0时,a12+a1+d+a1+2d+a1+3d≤10,即a12+3a1+2≤0,△=1>0,此时a1有解.
而a12+a1+d+a1+2d+a1+3d+a1+4d≤10,即a12+4a1+10≤0,△=-24<0,此时a1无解.
所以a1<0时,数列至多有4项.
(3)a1=-1时,数列为:-1,1,3,5;或a1=-2时,数列为:-2,0,2,4.
(2)考虑到d=2,且首项的平方与其余各项之和不超过10,所以可用枚举法研究.
①当a1=0时,02+d+2d=0+2+4≤10,而02+d+2d+3d=0+2+4+6>10,此时,数列至多3项;
②当a1>0时,可得数列至多3项;
③当a1<0时,a12+a1+d+a1+2d+a1+3d≤10,即a12+3a1+2≤0,△=1>0,此时a1有解.
而a12+a1+d+a1+2d+a1+3d+a1+4d≤10,即a12+4a1+10≤0,△=-24<0,此时a1无解.
所以a1<0时,数列至多有4项.
(3)a1=-1时,数列为:-1,1,3,5;或a1=-2时,数列为:-2,0,2,4.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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