题目

为什么圆锥是与它等底等高的圆柱体积的1/3(数学公式解答)

提问时间：2020-11-11

答案

把圆锥沿高分成k分 
每份高 h/k, 
第 n份半径：n*r/k 
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2 
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3 
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 
因为 
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6 
所以 
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3 
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6 
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0 
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3 
因为V柱=pi*h*r^2 
所以 
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3 
我的分太少了,帮帮忙.