题目

求解3道线代题目 第一题 设A为m*n实矩阵,且矩阵B=aI+AT(转置)A 试证,当a>0时,矩阵B为正定矩阵
后两题附图片
后两题不需要了 只要第一题啊啊啊啊 求解

提问时间：2020-11-11

答案

因为 B^T = (aI+A^TA)^T = aI+A^TA =B
所以 B也是实对称矩阵
对任一非零n维列向量x
x^TBx
= x^T(aI+A^TA)x
= ax^Tx+x^TA^TAx
= ax^Tx + (Ax)^T(Ax)
因为 a>0, x^Tx>0, (Ax)^T(Ax)>=0
所以 x^TBx > 0
故 B 是正定矩阵.