题目
一元三次方程x^3-px+q=0的求根公式和韦达定理
提问时间:2020-11-11
答案
【盛金公式】
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0).
重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd,
总判别式:Δ=B^2-4AC.
当A=B=0时,盛金公式①:
X⑴=X⑵=X⑶=-b/(3a)=-c/b=-3d/c.
当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②:
X⑴=(-b-Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(3a);
X(2,3)=(-2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(6a);
其中Y(1,2)=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1.
当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③:
X⑴=-b/a+K;X⑵=X⑶=-K/2,
其中K=B/A,(A≠0).
当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④:
X⑴=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);
X(2,3)=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a);
其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1 更多请参考百度百科,这是最常用的方法.
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0).
重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd,
总判别式:Δ=B^2-4AC.
当A=B=0时,盛金公式①:
X⑴=X⑵=X⑶=-b/(3a)=-c/b=-3d/c.
当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②:
X⑴=(-b-Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(3a);
X(2,3)=(-2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(6a);
其中Y(1,2)=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1.
当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③:
X⑴=-b/a+K;X⑵=X⑶=-K/2,
其中K=B/A,(A≠0).
当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④:
X⑴=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);
X(2,3)=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a);
其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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